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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Obtenga el polinomio de Taylor de orden $n$ de las siguientes funciones en $x_{0}=0$
d) $f(x)=e^{2 x}$
d) $f(x)=e^{2 x}$
Respuesta
Si calculamos las primeras derivadas de $f$ vemos que:
$ f'(x) = 2e^{2x} $
$ f''(x) = 4e^{2x} = 2^2 e^{2x}$
$ f'''(x) = 8e^{2x} = 2^3 e^{2x} $
$ f^{(4)}(x) = 16e^{2x} = 2^4 e^{2x} $
(...)
$ f^{(n)}(x) = 2^{n}e^{2x} $
Y si evaluamos cada una de estas derivadas en $x=0$ obtenemos...
$ f'(0) = 2 $
$ f''(0) = 2^2 $
$ f'''(0) = 2^3 $
$ f^{(4)}(0) = 2^4 $
(...)
$ f^{(n)}(0) = 2^{n} $
Este fue más fácil! Si juntamos ahora todo en la estructura del polinomio de Taylor centrado en $x=0$ nos queda:
\( p_n(x) = 1 + 2x + \frac{2^2}{2!}x^2 + \frac{2^3}{3!}x^3 + ... + \frac{2^n}{n!}x^n \)
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